Slide 1:[≈ 30 s · Ponente A] Buenas. Hoy hablamos de qué ocurre cuando un objeto golpea o se hunde en un medio granular: arena, polvo, regolito planetario. Somos dos ponentes. Yo les voy a contar cómo se forma un cráter y qué fuerza resiste la penetración. Mi compañero/a [Ponente B] seguirá con un resultado sorprendente, la penetración infinita, y con lo que cambia cuando variamos la gravedad. Los cuatro trabajos que seguimos son: Amato y Williams (1998), Tsimring y Volfson (2005), Pacheco-Vázquez y colaboradores (2011) y Altshuler y colaboradores (2014).

Slide 2:[≈ 30 s · Ponente A] Este es el hilo conductor: ¿cuánto penetra un objeto en un medio granular y cuánto tarda en detenerse? Hacemos cuatro paradas. Primero, el cráter: cómo crece su tamaño con la energía. Segundo, la fuerza: qué frena al objeto y cómo depende de la profundidad. Esas dos son mías. Después [Ponente B] mostrará qué pasa cuando esa fuerza deja de crecer —una masa crítica y una velocidad terminal— y, por último, qué cambia si cambiamos la gravedad efectiva. Al final volveremos a esta pregunta para responderla.

Slide 3:[≈ 45 s · Ponente A] El experimento es sencillo: dejamos caer una bola de masa m desde una altura h sobre arena seca y medimos el diámetro D del cráter. La energía de impacto es E = m g h. Amato y Williams lo hicieron como práctica de pregrado: un recipiente de 28 cm con unos 8 cm de arena, bolas de acero de 1.3 a 3.2 cm de diámetro y alturas de 50 a 200 cm. Así la energía barre casi dos órdenes de magnitud. La arena fina de uso industrial funciona bien y no debe compactarse entre ensayos. La pregunta es: ¿cómo depende D de E? [Sugerencia: aquí cabe la foto del montaje o un esquema de la bola cayendo y el cráter.]

Slide 4:[≈ 1 min · Ponente A] Hay dos razonamientos simples. Primero: si la energía se gasta sobre todo en deformar el material, la energía es proporcional al volumen del cráter. Como el volumen crece como D al cubo, resulta D proporcional a E elevado a 1/3. Segundo: si la energía se gasta en expulsar el material, la energía cinética se transforma en energía potencial para levantar un volumen V, que crece como D al cubo, a una altura comparable a la profundidad, que es proporcional a D. Entonces E crece como D a la cuarta, y D es proporcional a E elevado a 1/4. (En el trabajo original se cita a Gault y colaboradores: la energía de un meteorito se reparte entre calor, fragmentación, deformación, eyección y ondas sísmicas.) Los dos exponentes están muy cerca, así que hace falta barrer casi dos décadas en energía. Pausa para el público: ¿cuál creen que describe los datos?

Slide 5:[≈ 1 min · Ponente A] Estos son los resultados de Amato y Williams en escala log-log: cuatro bolas de distinto diámetro, cuatro alturas. Los puntos caen sobre una recta de pendiente muy cercana a 1/4. Además, no hay dependencia explícita del diámetro de la bola: lo único que importa es su energía. Así que la respuesta está más cerca de 1/4: la eyección de material parece contar bastante. Pero ojo: esto es una ley empírica. No nos dice a dónde va realmente la energía, ni qué fuerza frena a la bola. Para eso vamos a mirar dentro del cráter. [Sugerencia: dibuja sobre la figura dos rectas de referencia, de pendiente 1/3 y de pendiente 1/4.]

Slide 6:[≈ 45 s · Ponente A] Para ver qué pasa dentro del cráter tenemos dos herramientas. A la izquierda, un experimento cuasi-2D: una moneda cae sobre una capa de bolitas de vidrio y la filmamos a 6000 cuadros por segundo. Se ve cómo los granos se reacomodan, se forman cadenas de contactos y la bola se frena. [Dejar correr el video unos segundos.] A la derecha, una simulación de dinámica molecular en 2D, de Tsimring y Volfson: 20 000 discos con contactos de resorte y amortiguador, y fricción de Cundall y Strack. La ventaja es que podemos contabilizar cada canal de energía. Eso es lo que miramos ahora.

Slide 7:[≈ 1 min · Ponente A] Este es el balance de energía en la simulación 2D. Al principio, alrededor del 75% de la energía de la bola es cinética y el 25% restante es potencial, por la profundidad a la que desciende. Esa energía pasa a los granos, pero la energía cinética de los granos no supera el 10% y desaparece rápido. Aproximadamente el 70% se disipa por fricción en contactos deslizantes entre granos, un 20% por colisiones inelásticas, y un 10% se invierte en elevar granos, es decir, en energía potencial gravitatoria. La fricción directa entre la bola y los granos es despreciable. Moraleja: ninguna de las dos hipótesis simples es toda la historia. El cráter es, sobre todo, el lugar donde la fricción interna del medio disipa energía. (Atención: es una simulación 2D con un conjunto de parámetros; lo importante es el orden de magnitud de cada canal.)

Slide 8:[≈ 1 min · Ponente A] ¿Cómo depende la profundidad de los parámetros? Hay tres leyes empíricas. Uehara y colaboradores: la profundidad d crece como la raíz cúbica de H, la caída total, con H igual a la altura de caída más la propia profundidad. Depende también de la fricción entre granos, a través de μ igual a la tangente del ángulo de reposo, de la razón de densidades y del diámetro de la bola. Ciamarra y colaboradores: tras un transitorio corto, la desaceleración es casi constante, y entonces d es v cero al cuadrado entre 2a; es decir, d crece linealmente con la energía. Walsh y colaboradores: la profundidad es proporcional al momento de impacto. Conexión con lo anterior: en todos los casos la respuesta es una ley de potencia en la energía, con exponentes menores que 1: 1/4 para el diámetro, 1/3 para la profundidad en el régimen de baja energía. Y una pista importante: si ponemos v cero igual a cero, la fórmula de Uehara todavía da un cráter, de profundidad proporcional al diámetro de la bola. Un objeto que se posa suavemente igual se hunde. La resistencia del medio no puede ser constante.

Slide 9:[≈ 1 min · Ponente A] El marco clásico es el modelo de Poncelet, de principios del siglo XIX, usado en balística y en penetración en suelos. Sobre la bola actúan tres fuerzas: el peso; una resistencia estática F_s; y un arrastre inercial proporcional al cuadrado de la velocidad, con un coeficiente α proporcional a la sección de la bola. Si F_s es constante, se integra y se obtiene la fórmula logarítmica de la profundidad máxima. Funciona razonablemente en impactos de velocidad media y alta. Pero a baja velocidad falla: predice que una bola soltada en reposo no penetra nada, d = 0. Eso contradice lo que vemos, sobre todo en medios sueltos. La salida es mejorar F_s: ¿cómo debe depender de la profundidad?

Slide 10:[≈ 1.5 min · Ponente A] ¿Qué forma tiene la fuerza estática? Albert y colaboradores mostraron que, en arrastre lento, la fuerza es la sección del objeto por la presión local. Veamos tres casos. Caso 1, F_s constante: es el Poncelet clásico. No hay cráter en reposo; falla a baja velocidad. Caso 2, F_s crece con la profundidad porque la presión crece con ella. Si la sección sumergida también crece, F_s va como z al cuadrado en 3D (z elevado a 3/2 en 2D); si la sección es fija, crece linealmente, como en Katsuragi y Durian. Esto reproduce el cráter en reposo, con profundidad proporcional al diámetro de la bola, y la ley de d proporcional a H^(1/3) a baja energía. Pero si creciera sin límite, el objeto siempre terminaría deteniéndose. Caso 3, crece y satura. En Tsimring y Volfson, cuando la bola ya está más profunda que su diámetro, la superficie libre se hunde con ella y la presión bajo la bola deja de crecer: la fuerza se vuelve casi constante, la desaceleración es constante y d crece linealmente con H. Con el modelo en 2D sale d proporcional a H^(2/5), que coincide con las simulaciones. Y la pregunta que dejamos abierta: si la fuerza satura de verdad, ¿qué le pasa a un objeto suficientemente pesado? Se lo paso a [Ponente B]. [Los tres gráficos son esquemas cualitativos, no datos.]

Slide 11:[≈ 20 s · Ponente B] Gracias. Hasta aquí, todo proyectil termina deteniéndose a poca profundidad: en la Luna, en Marte o en la Tierra, los cráteres son huellas de penetraciones finitas. Pacheco-Vázquez y colaboradores se hicieron una pregunta contraintuitiva: si la fricción satura con la profundidad, ¿qué ocurre si el peso del objeto es mayor que ese valor de saturación?

Slide 12:[≈ 1 min · Ponente B] Recordemos brevemente a Janssen, de 1895. En una columna granular dentro de un silo, parte del peso se transfiere a las paredes por fricción; por eso la presión no crece indefinidamente con la profundidad. Sigue la forma P(z) proporcional a ρ g λ por (1 menos e a la menos z sobre λ). Para z mucho menor que λ se recupera la presión hidrostática, que crece linealmente. Para z mucho mayor que λ, la presión satura. λ es una longitud del orden del diámetro del silo en materiales sueltos. En su montaje la midieron con una balanza bajo un pistón: λ = 50.2 cm, muy cercano al diámetro de 45 cm. La idea clave: si la presión satura, la fricción sobre un objeto que penetra también debe saturar.

Slide 13:[≈ 45 s · Ponente B] El montaje: un silo de 6 metros hecho con dos tubos de cartón duro de 3 metros, 45 cm de diámetro interno y cerca de un metro cúbico de bolitas de poliestireno expandido. Su densidad es 0.014 gramos por centímetro cúbico, unas 160 veces menor que la de la arena; los granos miden de 2 a 6.5 milímetros y el ángulo de reposo es de 26 grados. Los proyectiles son pelotas de ping-pong de 4 cm cargadas con partículas de acero: 18 masas distintas, de 15 a 182 gramos. Se siguen con un hilo marcado y una cámara rápida a 1000 cuadros por segundo; como segundo método se usó un acelerómetro inalámbrico dentro de la bola, con resultados compatibles. Las bolas se hunden por el centro, a cinco diámetros de las paredes, así que no hay efecto de pared.

Slide 14:[≈ 45 s · Ponente B] Al soltar las bolas aparecen dos tipos de trayectorias. Las ligeras, de 35 a 84 gramos, se detienen dentro del silo. Las pesadas, de 92 a 182 gramos, llegan hasta el fondo y su velocidad parece nivelarse. La pregunta es si esa velocidad constante es una velocidad terminal real, y se hundirían indefinidamente si el silo no tuviera fin, o si simplemente se detendrían un poco más abajo en una columna más larga. Para decidirlo necesitamos un modelo. [Sugerencia: señalar en el gráfico v(z) cómo se aplanan las curvas de las bolas pesadas.]

Slide 15:[≈ 1.5 min · Ponente B] El modelo es una ecuación de movimiento con tres términos: el peso; un arrastre inercial proporcional a la velocidad al cuadrado; y una fricción estática con la forma de Janssen. Para profundidades pequeñas esa fricción es lineal, κ por z; para profundidades grandes se vuelve constante, κ por λ. Si la fricción satura y la aceleración se anula, queda V_T al cuadrado igual a (m g menos κλ) entre η. Es una velocidad terminal, exactamente como en un fluido, aunque el medio sea granular. De aquí sale algo nuevo: una masa crítica, m_c igual a κλ entre g. Por debajo de ella, V_T al cuadrado sería negativo; no hay solución con velocidad terminal y el proyectil se detiene. Los parámetros salen de dos mediciones independientes: la recta de V_T al cuadrado contra m, y la profundidad mínima de equilibrio de intrusos introducidos lentamente. Resultan η = 0.342 g/cm, κ = 1624 g/s² y λ = 50.2 cm, justo el orden del diámetro del silo, como predice Janssen. Con ellos, m_c ≈ 86 g.

Slide 16:[≈ 1.25 min · Ponente B] Esta figura resume el resultado. A la izquierda, V_T al cuadrado contra la masa: una recta que corta el eje horizontal en la masa crítica, unos 86 gramos. A la derecha, la profundidad final contra la masa: crece y diverge cuando la masa se acerca a m_c por debajo. Los puntos rojos son la mínima profundidad de equilibrio de un intruso colocado en reposo; los negros, la profundidad final al soltar la bola desde arriba, un poco mayor por inercia. Conclusión: por debajo de m_c, el objeto se detiene a una profundidad finita; por encima, alcanza una velocidad terminal y se hundiría indefinidamente si el silo no acabara. Hacen falta dos condiciones: que la presión esté saturada y que la masa supere la crítica. Incluso una bola ligera lanzada con fuerza hasta una zona saturada se detendría. Los autores señalan que, muy cerca de m_c, el comportamiento es muy sensible y lo comparan con una transición sólido–líquido: el medio granular se comporta como un fluido simple. Esta dinámica no se había observado ni predicho antes en experimentos de impacto.

Slide 17:[≈ 45 s · Ponente B] Ahora cambiamos de pregunta. El coeficiente κ depende del tamaño y la forma del intruso, de la fricción entre los granos y de la proximidad de las paredes del recipiente. ¿Depende también de la gravedad? No es una pregunta académica. En mayo de 2009 el rover Spirit quedó atascado en una duna de la región «Troy», en Marte. Los ingenieros hicieron pruebas con rovers gemelos en la Tierra, pero NASA reconoció que no podían reproducir exactamente las condiciones. En enero de 2010 se aceptó que Spirit se quedaría allí. El ingrediente que no se podía variar con facilidad en la Tierra era la gravedad efectiva.

Slide 18:[≈ 1 min · Ponente B] La solución del equipo de Altshuler: un laboratorio en caída libre. Una máquina de Atwood de cinco pisos, unos 15 metros. Uno de los contrapesos es una cubeta de 30 cm de diámetro llena de poliestireno expandido, con un laboratorio inalámbrico dentro. Según las masas relativas, la cubeta cae o sube, y durante unos segundos todo lo que hay dentro siente una gravedad efectiva menor o mayor que g. En ese lapso se suelta una esfera de 4 cm y 23 gramos, con un acelerómetro inalámbrico en su interior. Es lo bastante ligera como para evitar la penetración infinita: se detiene en el material. Así se cubre desde 0.4 g hasta 1.2 g, y las simulaciones de elementos discretos extienden el rango desde asteroides hasta Júpiter. [Mostrar aquí el video del equipo; no muestra el hundimiento en sí, solo las condiciones experimentales.]

Slide 19:[≈ 1.5 min · Ponente B] Resultado: la profundidad de reposo es de unos 14 centímetros para todos los valores de gravedad efectiva, mientras que el tiempo que tarda la esfera en detenerse escala como g_eff elevado a menos un medio. Con más gravedad, el proceso es más rápido, pero llega a la misma profundidad. ¿Por qué? Ajustando las curvas de aceleración contra profundidad con el modelo, el coeficiente κ resulta proporcional a g_eff: κ = α g_eff, con α ≈ 0.415 N s² / m². Es decir, la fricción del medio crece igual que el peso. Por eso, en el equilibrio estático, g_eff se cancela: la ecuación que da la profundidad de reposo ni siquiera contiene g_eff. Para el tiempo, al integrar el movimiento sale t_rest igual a (2 g_eff) elevado a menos un medio por una integral que no depende de g_eff. Es como proyectar la misma película a distinta velocidad. Un detalle: α es unas 35 veces mayor que ρπD²/4, que sería lo esperable si fuera solo presión hidrostática. La resistencia no es puramente hidrostática. Consecuencia práctica: la sedimentación inicial en medios granulares debería ser casi independiente del tamaño del cuerpo celeste, y las pruebas en la Tierra de vehículos para otros mundos no necesitan ajustar la masa.

Slide 20:[≈ 1 min · Ponente B, con intervención de Ponente A si lo desean] Volvamos a la pregunta: ¿cuánto penetra un objeto en un medio granular y cuánto tarda en detenerse? Cuánto: el diámetro del cráter crece aproximadamente como E elevado a 1/4; la energía se disipa sobre todo por fricción entre granos; y la fuerza estática depende de la profundidad. Si esa fuerza satura, como predice Janssen, hay una masa crítica: por debajo se detiene, por encima se hunde con velocidad terminal. Cuánto tarda: depende de la gravedad efectiva como g_eff a la menos un medio; la profundidad de reposo no cambia. Preguntas abiertas. ¿Se podría ver velocidad terminal en arena real? Con la misma geometría, la masa crítica sería de unos 14 kg, es decir, una bola de unos 400 g/cm³, imposible; pero quizá en lechos fluidizados con aire o con intrusos autopropulsados. Y las simulaciones muestran que, incluso a velocidad terminal, el movimiento es intermitente, tipo stick-slip, gobernado por la formación y ruptura de cadenas de fuerza. Muchas gracias. ¿Preguntas?